Série de Pagamentos - PMT

Série de Pagamentos - PMT

A série de pagamento nada mais é do que uma sucessão de capitais exigíveis periodicamente, seja para amortizar uma dívida, seja para formar um fundo de reserva.

As séries de pagamentos podem ser:

• Constantes: Se os valores forem iguais.
• Periódicas: Se todos os períodos forem iguais.

Os pagamentos ou recebimentos podem ser:

• Postecipados: Indica que os fluxos de pagamentos ou recebimentos começam a ocorrer ao final do primeiro intervalo de tempo. Por exemplo: Não havendo carência, a prestação inicial de um financiamento é paga ao final do primeiro período do prazo contratado, vencendo os demais em intervalor sequenciais.
• Antecipados: Indica que os fluxos de pagamentos ou recebimento, são exigentes no início do período ou da série.
• Diferido: Indica que o termo da série começa os a ocorrer após o final do primeiro período, indicando a carência de um ou mais períodos.

Graficamente uma serie de pagamentos uniforme é representada da seguinte forma:

- PMT inicial em n=1 (Postecipado)

- A diferença entra a data de um termo e outro é constante. (Período)

- O prazo do fluxo é preestabelecido (fixo), apresentando n períodos

- O PMT é uniforme (iguais e constantes)

Valor Futuro - FV

Para encontrarmos o valor futuro de uma série de pagamentos ou recebimentos iguais, de forma composta, observemos o fluxo de caixa.

O problema consiste em determinar o montante acumulado FV, no final de n períodos, a partir da capitalização dos n prestações de uma serie, todas com mesmo valor e igual PMT, com uma taxa i de juros.

FV = PMT.[(1+i)^n-1]/i

Exemplo:

A – O Sr. Pedro deposita $ 1.000,00 mensalmente, em um fundo de investimento, durante 4 meses, a taxa de 5% ao mês. Qual o montante a ser recebido?

N	I	PV	PMT	FV
4	5%	-	$ -1.000,00	$ 4.310,13

B – Um investidor, efetiva os quatros depósitos anuais de $ 5.000,00 indicados no fluxo. Sabendo-se que esses depósitos são remunerados com uma taxa de 8% ao ano, determinar o valor acumulado por esse investidor no final do quarto ano.

N	I	PV	PMT	FV
4	8	-	$ -5.000,00	$ 22.530,56

                                  

C – Uma pessoa irá necessitar de $ 22.000,00 daqui a um ano para realizar uma viagem. Para tanto, está sendo feita uma economia mensal de $ 1.250,00 a qual é depositada numa conta poupança que remunera os depósitos a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês. Determinar se essa pessoa terá acumulado o montante necessário ao final de um ano para fazer a sua viagem.

N	I	PV	PMT	FV
12	4%	-	$ -1.250,00	$ 18.782,26

Fornecedor FV Calcular o PMT

PMT = i/(1+i)^n-1

Exemplos:

A – Determinar o valor dos quatro depósitos trimestrais do fluxo de caixa que se segue, capazes de produzir o montante de $ 10.000,00 no final do 4º Trimestre, com uma taxa de 3% ao trimestre no regime composto.

N	I	PV	PMT	FV
4	3	-	$ -2.390,27	$ 10.000,00

B – Uma pessoa irá necessitar de $ 7.000,00 daqui a 10 meses. Quanto devera ela depositar mensalmente num fundo de poupança que renda 1,7% ao mês de juros?

N	I	PV	PMT	FV
10	1,7%	-	$ -648,10	$ 7.000,00

Fornecido PV calcular o PMT

PMT = PV.[(i.(1+i)^n)/(1+i)^n-1]

Exemplos:

A – Um banco de investimento financia a venda de equipamentos nu prazo de dois anos, com uma taxa de 3% ao trimestre, no regime composto. Determinar o valor da prestação trimestral de um equipamento cujo valor à vista é de $ 20.000,00.

N	I	PV	PMT	FV
8	3	$ -20.000,00	$ -2.849,13	-

                             

B – Um veículo, cujo preço à vista é de $ 30.000,00 está sendo vendido nas seguintes condições.

30% de entrada

Saldo em 6 parcelas mensais, iguais e sucessivas.

Determinar o valor de cada prestação admitindo uma taxa de juros de 2% ao mês.

N	I	PV	PMT	FV
6	2%	$ 21.000,00	$ -3.749,04	-

C – Um financiamento de $ 1.000,00 de principal deve ser amortizado em cinco prestações. Sabendo-se que a taxa de juros é de 1% ao mês no regime composto, determinar o valor da prestação mensal desse financiamento, com o pagamento da 1º prestação ocorrendo um mês após liberação dos recursos.

N	I	PV	PMT	FV
5	1%	$ 1.000,00	$ -206,04	-

Valor Presente - PV

PV = PMT.[((1+i)^n-1)/(i(1+i)^n)

Exemplos:

A – Determinar o valor do principal de um financiamento realizado com uma taxa de 1% ao mês, no regime composto, e que deve ser liquidado em 12 prestações mensais, sucessivas e iguais a $ 1.000,00.

N	I	PV	PMT	FV
12	1%	$ 11.255,08	$ -1.000,00	-

B – Determinado bem é vendido em 7 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $ 4.000,00. Para uma taxa de juros de 2,6% ao mês, até que preço compensa adquirir o aparelho à vista?

N	I	PV	PMT	FV
7	2,5%	$ 25.301,17	$ -4.000,00	-

C – Um empréstimo de $ 20.000,00 é concedido para pagamento em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de $ 4.300,00. Calcular o custo mensal deste empréstimo.

N	I	PV	PMT	FV
5	2,46%	$ 20.000,00	$ -4.300,00	-

Exercícios:

1 – Um veículo novo está sendo vendo por $ 4.000,00 de entrada mais seis parcelas mensais, iguais e consecutivas de $ 3.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 5,5% ao mês. Determinar até que preço interessa comprar o veículo à vista.

N	I	PV	PMT	FV
6	5,5%	$ 14.986,59	$ -3.000,00	-

$ 4.000,00 + $ 14.986,59 = $ 18.986,59

2 – Uma empresa contraiu um empréstimo de $ 9.000,00 para ser pago em 6 prestações mensais de $ 16.284,90 cada. No entanto, quando do pagamento da 2º prestação a empresa, passando por dificuldades financeiras solicita ao banco que refinancie o saldo de sua dívida em 12 prestações mensais, vencendo a primeira a partir de 30 dias dessa data.

A taxa de juros cobrada pelo banco no refinanciamento é de 3,5% ao mês. Determinar o valor de cada prestação do refinanciamento solicitado.

N	I	PV	PMT	FV
6	2,4%	$ 90.000,00	$ -16.284,90	-
N	I	PV	PMT	FV
4	2,4%	$ 61,411,24	$ -16.284,90	-
N	I	PV	PMT	FV
12	3,5%	$ 61.411,24	$ -6.355,08	-

3 – Uma pessoa, hoje possui $ 50.000,00 em dinheiro e uma capacidade de poupança de $ 3.000,00 mensais no próximo semestre e $ 4.000,00 mensais nos 4 meses seguintes ao semestre. Se esse fluxo de poupança for depositado mensalmente num fundo que rende 2,5% ao mês, determinar quanto essa pessoa terá acumulado ao final de:

        A)   10 Meses - $ 101.766,89

        B)   15 Meses - $ 115.139,90

N	I	PV	PMT	FV
6	2,5%	$ -50.000,00	$ -3.000,00	$ 77.174,88
N	I	PV	PMT	FV
4	2,5%	$ 77.174,88	$ - 4.000,00	$ 101.766,89

                              

N	I	PV	PMT	FV
5	2,5%	$ -101.766,89	-	$ 115.139,90

4 – Um fluxo de caixa está definido em 12 prestações mensais de $ 1.200,00. Calcular o fluxo de caixa equivalente para 5 prestações trimestrais iguais. Considere uma taxa de juros de 1,5% ao mês. (Dois fluxos de caixa se dizem equivalentes quando produzem o mesmo valor num mesmo momento.)

N	I	PV	PMT	FV
12	1,5%	$ 13.089,01	$ -1.200,00	-

N	I	PV	PMT	FV
5	4,567838	$ 13.089,01	$ - 2.987,20	-

5 – Um deposito de $ 8.000,00 é efetuado num fundo de poupança que rende juros de 2,1% ao mês. Após 5 meses, o depositante decide retirar sua poupança em 12 parcelas mensais, vencendo a primeira após 30 dias. Admitindo a manutenção da mesma taxa de juros para todo o período, determinar o valor das parcelas que serão sacadas.

N	I	PV	PMT	FV
5	2,1	$ - 8.000,00	-	$ 8.876,03

N	I	PV	PMT	FV
12	2,1	$ 8.876,03	$ -844,48	-